如何計算威力彩期望值

威力彩頭獎上看史上最高的31億，各位是不是肖想著美夢，想著該怎麼花?

之前看到PTT版上有人把剛拿到手的3千振興券ALL IN威力彩，結果只中了400，被網友笑說報酬率-87%，在螢幕前呵呵笑的我，一旁垃圾桶裡卻躺著柔成團的彩券。

各位學過高中數學應該都知道，一件投ㄉㄨˇ資ㄓㄨˋ值不值得需考慮其期望值，因此在過去我都不買彩券，一來，是因為期望值很明顯都是負的，二來，我不想餓肚子，我建議台彩改用吐司來印彩券，沒中還可以當晚餐。

不過如今頭獎都上看31億了，期望值好像一定為正，穩賺不賠，是不是該ALL IN，什麼風險都與我無關，財富自由就靠這次了!?

且慢，世上哪有那麼爽的事~先搞清楚遊戲期望值再說。

那要如何計算期望值呢?

先假設N為參與人數(銷售數量)、B為號碼組合數量、J為頭獎獎金、頭獎期望值為E，以威力彩來說B就等於22085448 種號碼組合，下期預估威力彩的銷售數量約N等於2千萬張，頭獎獎金J為31億。

最簡單的期望值算法是E=J/B會得出約140元，看是高於每張成本100元，但這並沒有考慮到當兩個人甚至n個人都中頭獎，彩金要平分的情況，因此，若要考慮多人中獎情況的期望值，首先，必須列出這場遊戲所有可能n人中頭獎的機率，若將所有n=0~N情況加總會等於1，如下式：

上式用到二項式定理公式如下：

接下來，式(1)中n=0~N個人中頭彩，固定一個都是自己的情況，n=0的情況下還有一個是自己中的自然是不存在，n=1以後才有機率，加總所有機率如下式，各位可以自行推導出1/B的結果。若不便於思考，可以先想像一個比較簡單的情況，假設N=3人在玩骰子，B是6種，一人骰一次，然後若骰到1是頭獎。

由上式只要再各別乘上平分的頭獎金額J/n即可求得：考慮多人購買(平分)的頭獎期望值E。

若頭獎金額(J)31億，N=1，則E=J/B=140元，但若N等於2千萬張，則E=92元，此外彩金超過5千還要扣掉20%的稅，綜上所述，加總頭獎至普獎所有期望值結果為98元，扣除100元成本，結果還是會虧2元。

各位會發現彩券銷售數量N若越大，就越有可能越多人平分彩金，儘管依台彩遊戲規則，頭獎金額J會因銷售額提升，但期望值E還是會越低。

總結來說，彩券是一場平等的機率遊戲，別人灑幣包牌每張期望值並不會比較高，看了這篇懂得算數學也還是一樣，但至少知道期望值為負，能多一份理性少一份衝動，不過還是沒錢阻絕效果最好。